放大器输出阻抗在有源滤波器设计中的影响评估-电源网

上一篇《放大器容性负载驱动的参数评估与稳定性改善方法》中，将输出阻抗视为纯电阻用于评估容性负载驱动时电路的稳定性，还有一些情况不能将输出阻抗视为纯电阻。例如，本篇将讨论输出阻抗在有源滤波电路中的影响，具体分为三个部分，1.通过电路系统噪声分析探讨使用滤波器电路的必要性2.出于对知识的尊重，介绍滤波器理论（Sallen-key），重点在尾部介绍输出阻抗的影响 3.介绍一种简便的滤波器设计工具并结合LTspice进行仿真。

1.系统噪声与滤波分析

如《来吧LTspice|算清放大器电路噪声RMS值的糊涂账》介绍使用噪声密度与噪声带宽开平方的乘积，计算噪声的RMS值，在系统噪声分析中同样适用。

如图4.18（a），在SAR型ADC采集系统中，一个10nV/√Hz的噪声源在模拟带宽为10MHz,所产生噪声RMS值为：

$V_{n-RMS}=\frac{10nV}{\sqrt{Hz}}*\sqrt{10MHz*1.57}≈39.62μV$

其中，1.57是一阶系统噪声带宽与信号带宽的系数。

不论SAR型ADC输出速率为1MSPS,还是10KSPS均不影响系统噪声。如图4.18（b），当电路增加一个增益为10倍，带宽为5MHz的放大器时，系统噪声RMS值变为：

$V_{n-RMS}=10*\frac{10nV}{\sqrt{Hz}}*\sqrt{5MHz*1.57}≈280.18μV$

图4.18 未使用滤波器的采集电路

如图4.19（a），当使用1MHz带宽的RC电路驱动SAR型ADC时，系统噪声RMS值为：

$V_{n-RMS}=10*\frac{10nV}{\sqrt{Hz}}*\sqrt{1MHz*1.57}≈125.3μV$

这里纠正部分工程师的错误观念，SAR型ADC的驱动RC电路，虽然组成一阶低通滤波器，但是它的主要功能是驱动SAR型ADC并非滤除噪声！！！

如图4.19（b），使用带宽为10KHz的二阶低通滤波器之后，系统噪声RMS值为：

$V_{n-RMS}=10*\frac{10nV}{\sqrt{Hz}}*\sqrt{1MHz*1.22}≈11μV$

其中，1.22是二阶系统噪声带宽与信号带宽的系数。

图4.19 使用模拟滤波器的采集电路

由此可见，在SAR型ADC采集电路中，使用滤波器才能有效抑制电路噪声。

2 Sallen-key 滤波器理论分析

Sallen-key 滤波器是由R.P.Sallen与E.L.Key，在1955年提出的一种由放大器、电阻、电容组成的滤波器。如图4.21（a），Z表示电阻或电容，这种结构滤波器相比其他结构滤波器，对放大器的增益带宽积要求低，方便设计高频率滤波器。其次最大电阻与最小电阻的比值，最大电容与最小电容的比值低，便于实现，所以得到广泛的应用。

对Vf点使用基尔霍夫电流定律得到，式4-7。又因为V+对Vf形成分压得到，式4-8。

$\frac{V_{in}-V_{f}}{Z_{1}}=\frac{V_{f}-V_{+}}{Z_{2}}+\frac{V_{f}-V_{out}}{Z_{4}}$ （式 4-7）

$V_{f}=V_{+}（1+\frac{Z_{2}}{Z_{3}}）$ （式 4-8）

将式4-8代入式4-7，整理可得式4-9。

$V_{+}=V_{in}\frac{Z_{2}Z_{3}Z_{4}}{Z_{2}Z_{3}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{3}+Z_{2}Z_{2}Z_{4}+Z_{2}Z_{2}Z_{1}} +V_{out}\frac{Z_{1}Z_{2}Z_{3}}{Z_{2}Z_{3}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{3}+Z_{2}Z_{2}Z_{4}+Z_{2}Z_{2}Z_{1}}$

（式4-9）

根据虚短原则有式4-10。

$V_{+}=V_{-}=V_{out}\frac{R_{g}}{R_{g}+R_{f}}=V_{out}\frac{1}{K}$ （式4-10）

其中，K为直流增益，将式4-10代入式4-9可得式4-11。

$V_{out}\frac{1}{K}=V_{in}\frac{Z_{2}Z_{3}Z_{4}}{Z_{2}Z_{3}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{3}+Z_{2}Z_{2}Z_{4}+Z_{2}Z_{2}Z_{1}} +V_{out}\frac{Z_{1}Z_{2}Z_{3}}{Z_{2}Z_{3}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{3}+Z_{2}Z_{2}Z_{4}+Z_{2}Z_{2}Z_{1}}$

(式4-11)

整理获得式4-12。

$\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{\frac{Z_{2}Z_{3}Z_{4}}{Z_{2}Z_{3}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{3}+Z_{2}Z_{2}Z_{4}+Z_{2}Z_{2}Z_{1}}}{\frac{1}{K}-\frac{Z_{1}Z_{2}Z_{3}}{Z_{2}Z_{3}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}Z_{3}+Z_{2}Z_{2}Z_{4}+Z_{2}Z_{2}Z_{1}}}=\frac{K}{\frac{Z_{1}}{Z_{3}}\frac{Z_{2}}{Z_{4}}+\frac{Z_{1}}{Z_{3}}+\frac{Z_{2}}{Z_{4}}+\frac{Z_{1}(1-K)}{Z_{4}}+1}$

（式4-12）

通过带入不同的阻抗可以实现低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。以低通滤波器为例，电路如图4.21（b），传递函数为式4-13

$H（s）=\frac{1+\frac{R_{f}}{R_{g}}}{s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}+s（R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{1}C_{2}\frac{R_{f}}{R_{g}}+1）}$ (式4-13)

将式4-10代入式4-13，整理得到式4-14。

$H(s)=H(o)\frac{\omega_{p}^{2}}{s^{2}+s\frac{\omega_{p}}{Q}+\omega_{p}^{2}}=\frac{K\frac{1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{s^{2}+s((\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}）\frac{1}{C_{2}}+\frac{1-K}{R_{2}C_{1}})+\frac{1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}$

(式4-14)

其中，s为jω，令分母为零得到理论的截至频率为式4-15。

$f_{p}=\frac{1}{2\Pi\sqrt{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}$ (式4-15)

Q 值为：

$Q=\frac{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}{R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{1}C_{2}(1-K)}$ （式4-16）

通常选定截止频率后，以R1为m倍R2，C1为n倍C2实现滤波器设计。

图4.21Sallen-key 滤波器

如上述Sallen-key 滤波器的计算得到的理论电阻值仅为参考，主要原因在真实放大器存在开环输出阻抗。如图4.21（b），信号流向为：Vin->R1->C2->Zo->地电位，频率升高C2视为短路，示意图为4.22。由于开环输出阻抗Zo会随频率上升而变大，导致滤波器在高频段出现抑制能力变弱的情况。所以，对于非专业设计滤波器的工程师，建议使用滤波器设计软件。

图4.22 真实放大器的Sallen-key滤波器输出等效图

3 有源低通滤波器设计工具

ADI官网的在精密信号链设计工具窗口，选择“Analog Filter”，并进入“LPF”低通滤波器窗口。

如图4.23。在通带内配置增益、带宽、增益衰减，在阻带处配置预期截止频率，及对应的信号衰减，另外，还可以选择滤波器响应的速度。

图4.23 低通滤波器配置

进入“Components”组件选择窗口，在“Voltage Suppies”项，配置放大器电源电压。在“Components”项，可以选择“Pick for me”默认推荐，或者“I want to choose”自主选择器件。在“Implementatioin”项，可以选“Sallen-key”或者“Multiple Feedback”结构。根据选定的结果可以查看滤波器的幅频特性。

如图4.24，系统推荐ADA4096-2的 Sallen-Key滤波器的在40KHz处，衰减超过20dB，然而在频率超过200KHz会出现抑制能力变弱，这就是ADA4096开环输出阻抗的影响。

图4.24ADA4096-2 Sallen-Key滤波器的频率响应

进入“Tolerance”组件选择窗口，选择电阻、电容，如图4.25。还可以在“Next Steps”窗口下载包括LTspice仿真电路的全部设计资料。

图4.25 ADA4096-2 Sallen-Key滤波器电路设计

如图1所示为生成的ADA4092-2 Sallen-Key滤波器电路配置，并将该电路配置为一个子模块方便后续调用。

图1 噪声分析电路

如图2（a）为调用该滤波器电路并进行噪声分析,结果如图2（b）在1KHz~10KHz频率范围内，噪声密度约为80nV/√Hz,超过10KHz噪声密度下降，频率上升到40KHz时噪声密度约为34 nV/√Hz，频率为40KHz~100KHz噪声密度稳定趋近30 nV/√Hz，频率超过180KHz时，由于放大器输出阻抗随频率变化导致滤波器噪声抑制能力变差，噪声密度呈现上升的势头。

图2 ADA4096-2 Sallen-Key滤波器电路噪声分析

如上介绍，使用该工具设计工具，在遵循滤波器设计原则的基础上，根据所选放大器的输出阻抗的参数，提供接近实际电路的仿真结果，能都方便工程师高效完成滤波器电路设计与评估。