大家好,我是程序小羊哈,做电机控制的小伙伴都知道,FOC控制中经常和求导以及微积分打交道,说实话,我大学当时就对嵌入式单片机感兴趣,对这种枯燥乏味的数学推导我是丝毫提不起兴趣,我当时认为我毕业后也用不到这些,我干嘛花这么多精力在这上面呀,直到工作后,我慢慢发现我当年是多么年少无知呀。当年大学玩嵌入式就完了点皮毛,认为嵌入式也就这样,直到我的工作是电机控制后,我知错了真的知道错了。这里面涉及物理,数学等各种知识,打的我一个措手不及,实在后悔当年的年少轻狂不知天高地厚。于是毕业后我又只能恶补这些知识了。这篇文章我把我的一些笔记记录下来,文章最后代入电机控制的一些公式进行分析。和电机一起学习交流。虚怀若谷,安之若素这句话和各位共勉。
开始吧
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第一步,极限的概念,我们拿我们最熟悉的速度与位移以及时间的公式来说明,我们知道速度公式V = S/t为平均速度。但是很多时候,物体运动的速度不是均匀的,我们怎么求某一时刻的瞬时速度呢。我们可以通过无限逼近的方法来计算瞬时速度。
如果时间间隔△t不断变小,那么△S和△t的比值会越来越接近t0点的瞬时速度,当△t趋近于0时,这个三角形切边所在的直线,就是表示S的曲线在t0点的切线,而该直线的斜率就是物体在t0时刻的瞬时速度了。如下图
为了研究函数的变化,就需要引出导数的概念,那么导数就来了:导数描述了函数的局部性质,一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附件的变化率,如果函数的自变量和函数值都是实数,那么函数在某一点的导数就是该函数在这一点上切线的斜率。
求导公式:
微分:设函数y=f(x)函数上的某个点P,它的横坐标为x0,设△x是曲线y=f(x)上点P在横坐标上增量,△y是曲线在P点对应△x在纵坐标上的增量,如果函数x0变化了△x,那么函数的增量△y=f(x0+△x)-f(x0),这个时候我们可以看到△y由两部分组成,一部分是下图红色线段,一部分是灰色线段。我们设红色线段为A*△x,灰色线段为0(△x),我们知道灰色线段是比红色线段高阶的无穷小。
当△x趋近于0的时候,如下图,灰色线段相比于红色线段基本可以忽略不计。那么此时,我们将自变量x0的增量△x称为自变量的微分,记做dx,A*△x称为函数在x0相对于自变量增量△x的微分,也就是函数值的微分,记做dy。
积分:
首先积分怎么来的,就是在一个上图的曲边梯形图像上要求面积,怎么求?能不能构建一个函数,只要把起点和终点告诉它,就能计算出结果(面积)。
由于曲边梯形的起点和终点是固定的,则曲边梯形的区域也是固定的,因此,其面积是一个固定的实数,积分:起点保持不变,积分的下限为a,积分上线为b,公式为下图。
总结:
导数是描述函数变化率的一个量。具体来说,函数 f(x) 在某点 x = a 处的导数,表示当 x 在 a 附近变化时,函数f(x) 的变化速度
微分是导数的一个线性近似。它描述了函数 f(x) 在某点 x=a 处的增量与自变量x 的增量之间的线性关系。如果f 在a 处可导,且导数为f ′ (a),那么函数在a 处的微分 df 可以表示为:df = f′(a) *dx
积分是微分的逆运算,表示函数在某一区间上的积累变化量
说了这么多,我们来用我们最熟悉的路程速度时间公式来进行分析分析:
首先,S=Vt,路程关于时间求导就是速度 S' = V,为什么?因为导数反应的是函数的一个变化率,在某一个时刻,S的变化率也就是曲线的斜率不就是速度吗。
这个理解了,那么我们代入电机控制里面:θ = Wt。则θ’ = W,另外我们就能理解上篇文章的公式了。