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用Simplis验证环路理论(一)

开关电源的环路理论,由于理论性太强,显得枯燥乏味,太多的公式让人眼花缭乱。但是仿真软件的应用,可以让人更加直观的理解这些理论。关于基本的环路理论,和基本拓扑的小信号模型推导请看fundamentals of power electronics 这本书,如果英文不是很好的可以看徐德鸿老师的电力电子系统建模及控制,这里就不再赘述。

下面,我用Simplis软件,来一一验证环路理论的那些公式。

首先我们来看,电压控制模式,连续模式的基本拓扑。那些基本拓扑,从占空比变化到输出变化的传递函数为:

三个基本拓扑的关联参数为:

这里我们先看buck电路,可以从以上得到信息:

电压控制CCM的buck, 从占空比变化到输出变化的传递函数可以表述为:

  1. 直流增益为V/D(这里V为输出电压,D为占空比,V/D实际上就是Vin),简单的说直流增益就是Vin(输入电压)
  2. 增益曲线里只有一对双极点:

接下去,画一个最简单的buck电路

这是一个输入电压为50V,占空比为0.5,电感为20uH,电容为500uF,负载为1欧姆,可以保证在CCM模式。这里的波特图探测器,测试的是从占空比到输出的开环特性。(u1正端的电压1V对应占空比1,也就是说占空比0.5情况下,该电压是0.5V)

先从理论上来计算:

此buck的直流增益为G=20log50=34db

双极点在f=1.6Khz

看一下simplis仿真的结果

看绿色的增益曲线,可以看到直流增益的确在34db左右,而双极点大概在1.6KHz。大家都知道,如果输出电容采用点解电容的话,通常不能忽略电容的ESR,而电容的ESR会给小信号模型加入一个零点。

该零点的位置为:

加入给上图电容加入20毫欧的ESR,计算可得零点位置在16KHz左右。

看仿真的结果

的确可以看到在16K左右的地方,出现了一个零点。接下去来看一下CCM的Boost电路。

依然是输入50V,占空比0.5,根据上面的公式,该boost的直流增益为46db左右,在0.8Khz处有双极点,在20Khz左右处有个右半平面零点,看仿真结果,是否吻合?

在上图的波特图中,可以看到在20Khz左右的确出现了一个增益特性上翘,相位却是滞后的右半平面零点。如果同样加入ESR:

该ESR导致的零点依然在16Khz左右,那么看一下结果:

在增加一个零点以后,可以看到增益曲线最后变平了。而相位滞后从原来的270度变为180度。接下去看buck-boost:

从理论计算来看,直流增益依然是46db,双极点在0.8K左右,不过右半平面零点在40Khz左右,看下仿真结果,的确是吻合:

当然,由于buckboost的输出是负压,所以在相位图上,一开始就有一个180度相位。这里结识一下Q值的作用,看下图:

对于二阶系统来说,Q值越大,增益曲线的变压就越剧烈,相位变化就越快速。Q值小则反之。那么用比较通俗的话来表达,可以这么认为:Q越大,两个极点就越靠近,Q越小,两个极点越分离。那么当Q并没有远远小于0.5的时候,通常认为两个极点是靠近的。计算的时候往往认为是重叠的双极点。那么当Q远远小于0.5的时候,通常就认为两个极点分开了。

认为一个极点为:Qwo

另外一个极点为:wo/Q

这里w是欧米伽

接下去来看三个基本拓扑在DCM情况下的小信号模型(还是电压控制),根据理论,这三个基本拓扑在DCM情况下,小信号模型会简化为一阶系统(实际上另外一个极点和右半平面零点被移到高频处,接近和高于开关频率,所以把他们忽略不计)。

首先来看DCM情况下的电压传输比M(输出电压/输入电压)

这里的Re为

可能图不是很清楚,我把buck,boost,buckboost的Re再表述一下:

Re=2L/d(squre)Ts

其中d是管子的开通占空比,Ts为周期。

那些来看一下小信号模型中关键参数:

如果要考虑的更复杂一点,可以把高频的极点和右半平面零点考虑进来:

现在来看一下DCM的buck例子:

占空比依然为0.5,输出负载为100欧姆,工作频率为500Khz

先来计算Re,根据上面的公式

可以得到Re=80

那么M=0.66

那么输出电压V=0.66*50=33

那么可以算出直流增益(从占空比到输出)

Gd0=30.5db

低频极点为

12.6Hz

由ESR带来的零点,依然是

16Khz

如果从应用角度来说,到这里就可以了。如果从学术角度来说,还可以计算一下那个高频极点。计算结果为 618Khz,如此高的频率已经超过了开关频率,而实际上的低频小信号模型,前提是要远远低于开关频率。而模型本身,在接近或者超过开关频率的情况下,已经完全不准确了,所以这个结果已经没有实际意义。

我们看一下仿真的结果:

仿真结果,直流增益大概在30db,极点大概在10Hz左右,零点在10Khz~20Khz之间,可以说和理论非常的吻合。接下来看一下DCM Boost:

占空比为0.5,输出负载为300欧姆。

先来计算:

Re=80

M=2.5

V=125

Gd0=45.5db

极点位置:2.8Hz

当然,esr导致的零点依然在16Khz

计算一下高频极点和右半平面零点

极点:477KHz

RHP zero:318KHz

所以可以把他们忽略了。

看一下仿真结果:

这下来看一下DCM buckboost:

根据上面的公式:

Re=80

M=-1.58

V=-79

Gd0=44db

极点:3.18Hz

同样来看一下

高频极点,503k

RHP零点,318K自然把他们忽略了

最后看一下结果

接下去我们来看看峰值电流模式控制下的小信号模型,是什么样的。峰值电流模式的小信号模型,通常被认为是一阶系统,但是这种认识是建立在某种假设之上的。也就是假设电感电流的纹波非常小,换句话说就是峰值电流和平均电流之间的差值很小。在这种假设下,就可以导出一个简单的一阶模型。这是是从 电感电流 到 输出电压 的传递函数。

BUCK

BOOST

BUCKBOOST

通常来说,这种简单的模型也就足够了。但是如果从理论分析的角度,还能得出更详细的模型。更加精确的模型:

BUCK

Boost

Buckboost

这里

Fm=1/(Ma*Ts)

Ma为斜率补偿的斜率,Ts为开关周期,在上面那些模型里面,会多出一个极点,但是通常这个极点的位置会高出穿越频率,所以可以忽略。

那么来看一下,电流型控制buck:

这里不加斜率补偿,按照简单模型,可以计算得到

直流增益 Gc0=14db

极点位置:64Hz

ESR零点:还是16Khz

看仿真的结果,和计算还是很接近的。

如果电感大一点,那么理论和仿真会更吻合,那是因为峰值电流更接近平均电流。那么如果加入斜率补偿会有什么变化呢?理论上来说,加了斜率补偿,实际上是把电流型控制模式往电压型控制模式靠近了。通俗的说,斜率补偿越大,环路就越像电压型。

那么在小信号模型里,所表现出来的现象是:

原来分的很开的两个极点,由于斜率补偿而开始靠近。这样的话,原本忽略的高频极点,有可能会出现在比较低频的地方。

来看一下,仿真结果:红色和绿色曲线,是加了很大的斜率补偿之后的波特图。另外两条线是没有加斜率补偿。

仔细看绿色线,可以看到在十来K的地方出现了第二个极点,那就是斜率补偿把原本的高频极点移了过来。

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  • Westbrook 2021-08-10 16:32
    写的非常好,超赞。
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