最近我因为项目需求，在回看波特图方面的内容。大三时学的《自动控制原理》这本书里面就讲过这些东西，但是那时候总感觉学这些没啥用，反正以后也用不到，所以对这种课程的重视度不是很高。

工作后发现，只要你从事的是和本专业相关的工作，大学学过的很多理论课程在后面大概率都会用到。曾经那些我们在学校以为用不上的东西，殊不知在后面用处还多着呢。所以啊，所谓的以后用不到仅仅只是我们以为的而已！

现在还在学校的同学，对待《自动控制理论》、《信号与系统》、《通信原理》这样的核心专业课，我建议还是要好好学习，认真听课。哪怕是考试完以后就会忘掉，但当我们再次捡起书本时，或多或少还是会些模糊的记忆存在。相比完全没怎么听过课的人来说，学起来也会更快。

今天这篇文章是我近段时间关于波特图方面学习的内容总结。波特图将会是梳理闭环控制这个系列的开始。目前的计划是，以无源器件为基础，然后结合运放，再过渡到开关电源的环路控制方面。如果对这方面感兴趣的朋友，可以一起学习起来，我们的目标是掌握开关电源的闭环控制。

1. 什么是波特图？

波特图最常见的应用是在线性非时变的系统中，用于对传递函数的增益和相位进行分析，从而判断出系统随频率的响应是否稳定。因此，波特图又称为幅频响应和相频响应曲线图。下面就是在电路分析中最常见的波特图。

图1. 波特图示例

2. 理想器件和真实器件有什么区别？

理想的电阻如下图所示：

图2. 理想的电阻

理想的电阻，无论输入什么样的信号，在增益和相位上，不会有变化(忽略电阻产生的压降）。毕竟只要有电流流过电阻，输出端相比输入端的电压肯定会有略微降低。因此，使用波特图研究理想电阻对输入信号的响应，没什么意义。而在真实的世界中，电阻由于生产工艺制造，PCB板上走线，SMT焊接等一系列的操作，理想的电阻，并不是我们想象中的那样。只要把电阻用在电路中，它就会自带寄生电感和寄生电容，实际的等效模型如下所示：

图3. 实际的电阻模型

我们知道，电容和电感的阻抗会随着频率的改变而改变。那么实际的电阻也会信号频率的改变产生响应。实际的电容模型如下：

图4. 实际的电容模型

实际的电感模型如下：

图5. 实际的电感模型

理想电阻对不同输入信号的频率没有响应，无论在什么条件下，它一直表现出来同样的阻抗，在全频率范围内，阻抗一直会保持同样的阻值。但是结合电容和电感的等效模型可知，实际的电阻并不会一直保持同样的阻抗。

综上可知，真实的物理世界中，无论是独立的电阻，独立的电容，独立的电感，都会对输入信号的频率有响应。不同频率的信号通过这三者组成的电路，所得到输出信号幅度和相位会有区别。从上面的分析可以看出，现实世界中的电子元器件，电阻，电容，电感都会对输入信号频率的改变产生响应，而半导体器件由于CMOS工艺的原因，会在半导体管极间产生寄生电容，加工制造的PCB走线，会有寄生电感的存在。

所以，加工制造完毕的、实际的PCBA单板，输出信号都是会受到输入信号因频率改变而带来的的影响。既然是这样，那么波特图就能很好的帮助我们分析电路对信号频率改变的响应了。

3. 滤波器和波特图

滤波器的作用是对不同频率输入信号，实现不同的增益和相移，以形成输出。对设计滤波器的人来说，比较关注的是在特定的频率内，到底有怎样的增益和相移。根据前面分析的内容，波特图刚好是研究增益和相移。所以要想设计一个满足性能的滤波器，必须要学会波特图。下面以一个低通滤波器为例，讲述如何分析和使用波特图。

图6. RC低通滤波电路

输入信号为VI，输出信号为Vo，根据电阻分压的原理，可以计算出RC低通滤波的传递函数为：

图7. RC电路传递函数

从传递函数可以看出，传递函数受到输入信号频率ω的影响。要知道Vi信号经过RC后的变化，就需要了解H(s)的特性，为了便于分析，令

图8. RC时间常数

其中，RC为电路的时间常数。根据复数性质，计算出H(s)的幅值和相位大小分别为：

图9. RC电路幅值和相位

关于传递函数的幅值和相位计算，目前很多书上都是直接给出答案，这里推导一下结论的来源。为了方便计算，可以令传递函数为下面的这样的形式：

图10. 传递函数复数形式

求H（S）的幅值和相位，需要对其分子分母有理化，可以计算得到：

图11. 传递函数分子分母有理化

幅值和相位根据下面的坐标图，就能计算出上面幅度|H(s)|和相位θ的大小。

图12. 传递函数在复平面中

4. RC电路对频率的响应

根据|H(s)|的表达式，1和f/fo之间的关系大小，会使|H(s)|有不一样的结果。因此，1和f/fo之间的关系，将|H(s)|分为三个阶段。

(1）当 f/fo <<1 时

f远小于fo，可认为输入信号为直流信号，此时H(S)的增益和相位表达式中将f/fo这一项忽略。则增益为1，输出信号幅值等于输入信号幅值。此时相位θ也非常小，几乎为0。也就是说，在f非常小时，输出跟随输入变化，幅度不变化，相位也不变化。增益和相位的曲线如下图所示：

图13. 增益相位曲线

（2）当f/fo =1时

输入信号频率f刚好和RC乘积相等，此幅值和相位的大小为：

图14. 特征频率处的增益和相位

增益和相位的曲线如下图所示：

图15. 增益和相位曲线

根据上面的内容，我们只能分析出f在很小时和f=fo时的幅值和相位，画出来的增益和相位曲线如图13和图15所示，在f趋近于fo的过程中，幅值和相位是怎么样的变化的还不知道。先不着急得到变化趋势，接着把第三阶段分析完。

（3）当f/fo >>1 时

增益和相位的大小为：

图16. 无穷大频率处的增益和相位

增益和相位的曲线如下图所示：

图17. 增益和相位曲线

根据输入信号的变化和传递函数的表达式，我们推出了全频率范围内输出信号的变化。可以得到的结论是：在RC滤波电路中，输入信号的频率越高，输出信号频率越少，而且相位滞后越大。

当f非常小时，输出信号在增益和相位和输入信号保持一致。当f非常大时，此时输出端的信号几乎为0，相位滞后90°，且此时研究相位也没有意义。

5. 波特图

波特图可以研究系统的频率响应，且能描述增益和相位，而增益和电压放大倍数刚好能对应起来，所以RC电路的响应，也可以用波特图进行描述。根据波特图的定义，XY轴坐标需要改为对数坐标，即横轴用lgf来表示，纵轴用20lg(A)来描述。将RC电路输入输出增益和相位响应曲线，幅值和频率换成对数坐标系后：增益的表达式为：