什么是 CRC（循环冗余校验）？

循环冗余校验（英语：Cyclic redundancy check，通称“CRC”）是一种根据网络数据包或电脑文件等数据产生简短固定位数校验码的一种散列函数，主要用来检测或校验数据传输或者保存后可能出现的错误。生成的数字在传输或者存储之前计算出来并且附加到数据后面，然后接收方进行检验确定数据是否发生变化。由于本函数易于用二进制的电脑硬件使用、容易进行数学分析并且尤其善于检测传输通道干扰引起的错误，因此获得广泛应用。此方法是由W. Wesley Peterson于1961年发表。

CRCs经常被叫做“校验和”，但是这样的说法严格来说并不是准确的，因为技术上来说，校验“和”是通过加法来计算的，而不是CRC这里的除法。

“纠错码”（Error–Correcting Codes，简称ECC）常常和CRCs紧密相关，其语序纠正在传输过程中所产生的错误。这些编码方式常常和数学原理紧密相关。例如常见于通信或信息传递上BCH码、前向错误更正、错误检测与纠正等。

CRC简介

CRC是两个字节数据流采用二进制除法（没有进位，使用XOR来代替减法）相除所得到的余数。其中被除数是需要计算校验和的信息数据流的二进制表示；除数是一个长度为（n+1）(n+1)的预定义（短）的二进制数，通常用多项式的系数来表示。在做除法之前，要在信息数据之后先加上nn个0。

CRC是基于有限域GF(2)（即除以2的同余）的多项式环。简单的来说，就是所有系数都为0或1（又叫做二进制）的多项式系数的集合，并且集合对于所有的代数操作都是封闭的。例如：

2会变成0，因为对系数的加法运算都会再取2的模数。乘法也是类似的：

同样可以对多项式作除法并且得到商和余数。例如，如果用x3 + x2 + x除以x + 1。会得到：

也就是说，

等价于：

这里除法得到了商x2 + 1和余数-1，因为是奇数所以最后一位是1。

字符串中的每一位其实就对应了这样类型的多项式的系数。为了得到CRC，首先将其乘以xn

，这里n

是一个固定多项式的阶数，然后再将其除以这个固定的多项式，余数的系数就是CRC。

在上面的等式中，x2+x+1

表示了本来的信息位是111, x+1

x+1 是所谓的钥匙，而余数11就是CRC. key的最高次为1,所以将原来的信息乘上x1

来得到x3+x2+x

也可视为原来的信息位补1个零成为1110。

一般来说，其形式为：

CRC是如何计算的？

CRC的思想就是先在要发送的K比特长度的数据后面附加一个R比特长度的校验码，然后生成一个新帧发送给接收端。接收端接收到新帧后，根据收到的数据和校验码来验证接收到的数据是否正确。

当然，这个附加的校验码不是随意添加的，要使所生成的新帧能与发送端和接收端共同选定的某个特定数整除（“模2除法”）。接收端把接收到的新帧除以这个选定的除数。因为在发送数据帧之前就已通过附加一个数，做了“去余”处理（也就已经能整除了），所以结果应该是没有余数。如果有余数，则表明该帧在传输过程中出现了差错。

在K比特数据后面再拼接R比特的校验码，整个编码长度为N比特，这种编码也叫(N,K)码。对于一个给定的(N,K)码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式g(x)，根据g(x)可以生成R比特的校验码。其算法是以GF(2)多项式算术为数学基础的，原理如下图所示。

CRC计算公式 g(x)叫做这个校验码的生成多项式。不同的CRC生成多项式，其检错能力是不同的。要使用R位校验码，生成多项式的次幂应为R。以下为常见的一些标准多项式。

这些多项式的值便是模2除法的除数。而根据这个除数获得校验码并进行校验的原理可以分为以下几个步骤：

发送端、接收端在通信前，约定好除数P，也就是前面说的多项式的值。P应该是R+1位长度； 发送端首先在原来的K位数据后面加R个0，相当于原来的数据左移了R位； 然后进行模2除法运算（其实就是异或XOR运算），将加0之后的K+R位的数除以P，循环计算，直到余数的阶数小于R，这个余数就是附加的校验码，如果长度不足R位需要在前面加0补齐； 发送端将R位校验码附加在原数据后面发送给接收方； 接收方接收到数据后，将数据以模2除法方式除以除数P。如果没有余数，说明在传输过程中没有出现错误，否则说明有错误。 下面以一个简单示例来展示CRC的计算过程：

以g(x)为CRC-4=X4+X+1为例，此时除数P=10011。假设源数据M为10110011。

在发送端将M左移4位，然后除以P。

计算得到的余数就是0100，也就是CRC校验码。将0100附加到原始数据帧10110011后，组成新帧101100110100发送给接收端。接收端接收到该帧后，会用该帧去除以上面选定的除数P，验证余数是否为0，如果为0，则表示数据在传输过程中没有出现差错。

PY32F030 内置的 CRC 外设采用 CRC32 多项式作为公式。

示例：examples/crc.rs

#![no_std]
#![no_main]

use embassy_executor::Spawner;
use py32f030_hal::crc::Crc;
use py32f030_hal::{selfas hal};

use {defmt_rtt as _, panic_probe as _};

#[embassy_executor::main]
asyncfn main(_spawner: Spawner) {
    let p = hal::init(Default::default());

    let crc = Crc::new(p.CRC);

    let buf1 = [
        0x00001021, 0x20423063, 0x408450a5, 0x60c670e7, 0x9129a14a, 0xb16bc18c, 0xd1ade1ce,
        0xf1ef1231, 0x32732252, 0x52b54294, 0x72f762d6, 0x93398318, 0xa35ad3bd, 0xc39cf3ff,
        0xe3de2462, 0x34430420, 0x64e674c7, 0x44a45485, 0xa56ab54b, 0x85289509, 0xf5cfc5ac,
        0xd58d3653, 0x26721611, 0x063076d7, 0x569546b4, 0xb75ba77a, 0x97198738, 0xf7dfe7fe,
        0xc7bc48c4, 0x58e56886, 0x78a70840, 0x18612802, 0xc9ccd9ed, 0xe98ef9af, 0x89489969,
        0xa90ab92b, 0x4ad47ab7, 0x6a961a71, 0x0a503a33, 0x2a12dbfd, 0xfbbfeb9e, 0x9b798b58,
        0xbb3bab1a, 0x6ca67c87, 0x5cc52c22, 0x3c030c60, 0x1c41edae, 0xfd8fcdec, 0xad2abd0b,
        0x8d689d49, 0x7e976eb6, 0x5ed54ef4, 0x2e321e51, 0x0e70ff9f, 0xefbedfdd, 0xcffcbf1b,
        0x9f598f78, 0x918881a9, 0xb1caa1eb, 0xd10cc12d, 0xe16f1080, 0x00a130c2, 0x20e35004,
        0x40257046, 0x83b99398, 0xa3fbb3da, 0xc33dd31c, 0xe37ff35e, 0x129022f3, 0x32d24235,
        0x52146277, 0x7256b5ea, 0x95a88589, 0xf56ee54f, 0xd52cc50d, 0x34e224c3, 0x04817466,
        0x64475424, 0x4405a7db, 0xb7fa8799, 0xe75ff77e, 0xc71dd73c, 0x26d336f2, 0x069116b0,
        0x76764615, 0x5634d94c, 0xc96df90e, 0xe92f99c8, 0xb98aa9ab, 0x58444865, 0x78066827,
        0x18c008e1, 0x28a3cb7d, 0xdb5ceb3f, 0xfb1e8bf9, 0x9bd8abbb, 0x4a755a54, 0x6a377a16,
        0x0af11ad0, 0x2ab33a92, 0xed0fdd6c, 0xcd4dbdaa, 0xad8b9de8, 0x8dc97c26, 0x5c644c45,
        0x3ca22c83, 0x1ce00cc1, 0xef1fff3e, 0xdf7caf9b, 0xbfba8fd9, 0x9ff86e17, 0x7e364e55,
        0x2e933eb2, 0x0ed11ef0,
    ];

    assert_eq!(crc.calculate(&buf1), 0x379E9F06);

    defmt::info!("{:x}", crc.calculate(&buf1));
    crc.reset();

    crc.accumulat(&buf1[0..10]);
    let rst = crc.accumulat(&buf1[10..]);
    defmt::info!("{:x}", rst);

    loop {
        cortex_m::asm::wfe();
    }
}