01 背景简介
在之前的文章“TPS54561DPRT规格书公式(35)如何推导？”、“TPS54561DPRT规格书公式(36)如何推导？”中，我们推导了TPS54561DPRT规格书中“为了满足负载动态响应(Load Transient Response)”BUCK电路输出端所需的电容量最小值计算公式(35)，以及“为了满足负载动态响应(Load Transient Response)”BUCK电路输出端所需的电容量最小值计算公式(36)，如下所示：
本文，我们将这两篇文章合并，对比这两个公式的推导过程，从而得出它们之间的很有意思的不同点。
在当前（2023.05）最新的TPS54561DPRT(Rev.G)版本规格书P32-33页，原文描述：
中文翻译：
公式35给出了所需的最小电容量，其中ΔIOUT是输出电流的变化，ƒsw是稳压器开关频率，ΔVOUT是输出电压的允许变化。
在本例中，瞬态负载响应指定为1.25 A至3.75 A负载电流阶跃导致的VOUT变化量为4%。因此，ΔIOUT 为 3.75 A - 1.25 A = 2.5 A，ΔVOUT = 0.04 × 5 = 0.2 V。
这里，在输出电压4% 的变化量中不考虑输出电容的ESR产生的影响。对于陶瓷电容器，ESR通常足够小，可以忽略不计。
但是，铝电解电容器和钽电容器具有更高的 ESR，必须包含在负载电流阶跃计算中。
中文翻译：
公式36用于计算将输出电压过冲(Overshoot)保持在设计需求值内所需要的最小电容量，其中LO是功率电感的电感量，IOH是重负载下的输出电流，IOL是轻负载下的输出电流，Vi是初始电压（注：也就是重负载下的稳态电压，等于输出电压Vout），Vf是峰值输出电压（注：是在稳态输出电压Vout基础上叠加一个电压增量）。
在本例中，最坏情况下的负载阶跃为3.75 A至1.25 A，即IOH=3.75A，IOL=1.25A。在此负载转换期间，输出电压增加，我们设计需求中规定的最大值为输出电压的4%。
这使得 Vf = Vout + ΔVout = (1+4%) × 5.0V = 5.2V。
Vi是初始电容电压，等于标称输出电压5 V，即 Vi = Vout = 5.0V，在公式36中使用这些数字可计算得到44.1 μF的最小电容。
02 公式(35)推导过程
图1 Load Step-up
图1所示，是进行负载动态响应测试时从“轻载”到“重载”的示意图。我们将从“轻载”到“重载”这个过程称为“暂态”（对应时间为∆T），“暂态”之前称为为“轻载状态”，暂态之后称为为“重载状态”。
无论是“轻载状态”还是“重载状态”都是BUCK转换器经过“调整”之后的“稳态”，输出电容COUT上的平均电流为零（电荷守恒，电容不生产电荷，电容只是电荷的搬运工）。
假设“暂态”∆T这段时间内输出电压跌落∆VOUT完全由输出电容COUT提供，那么基于输出电容COUT上的电荷变化量，利用“电荷公式I×∆T=∆Q=C×∆U”，可得：
∆IOUT*∆T=COUT*∆VOUT (1)
解得，为满足负载动态响应测试时从“轻载”到“重载”条件下输出电压或输出电容上的电压VOUT的跌落或Undershoot不超过∆VOUT，所需要的输出电容量的一般表达式，如下所示：
COUT,min = ( ∆IOUT*∆T ) / ∆VOUT (2)
如果要求BUCK转换器必须在2个开关周期即∆T=2*Tsw=2/Fsw时间内调整完成使得输出电压不再继续跌落转而开始上升的话，那么上述公式可以重新表达如下：
COUT,min = ( 2*∆IOUT ) / ( Fsw*∆VOUT ) (3)
推导完毕。
这就是TPS54561DPRT规格书公式(35)的来源。
03 公式(36)推导过程
图2 Load Step-down
图2所示，为了满足Load Step-down之后输出端或输出电容上的电压Vout不超过设计需求中的Vout + ΔVout ，所需的输出电容量必须要吸收功率电感上释放的能量为
(1/2)*L*(I2)^2 – (1/2)*L*(I1)^2 (4)
这就是在Load Step-down之前和之后电感上的能量变化量。而对应的输出电容上的能量变化量为
(1/2)*Cout*(Vout + ΔVout)^2 – (1/2)*Cout*(Vout)^2 (5)
利用电感能量变化量和电容能量变化量相等，有：
(1/2)*L*(I2)^2 – (1/2)*L*(I1)^2 = (1/2)*Cout*(Vout + ΔVout)^2 – (1/2)*Cout*(Vout)^2 (6)
消去1/2，合并多项式有：
L * [ (I2)^2 - (I1)^2 ] = Cout * [ (Vout + ΔVout)^2 - (Vout)^2 ] (7)
从而解得 ：
Cout = L * [ (I2)^2 - (I1)^2 ] / [ (Vout + ΔVout)^2 - (Vout)^2 ] (8)
将 Vi = Vout 、 Vf = Vout + ΔVout 、IOH = I2和IOL = I1代入上述公式中，得到：
Cout = L * [ (IOH)^2 - (IOL)^2 ] / [ (Vf)^2 - (Vi)^2 ] (9)
推导完毕。
这就是TPS54561DPRT规格书公式(36)的来源。
04 思考：两个推导过程的区别？
为何公式(35)的推导，仅基于电荷公式或电容上的电荷变化量即可完成；而公式(36)的推导，需要用到能量公式，即电感上的能量公式和电容上的能量公式？
答案是，关键在图中。
参考图1 Load Step-up的过程，因为我们假设“暂态”∆T这段时间内输出电压跌落∆VOUT完全由输出电容COUT提供，功率电感与输出电容之间的路径相当于是断开的，这个过程的能量转换是从输出电容到负载端。因为这个转换过程，只涉及“电容元件”，所以使用电荷公式即可。
参考图2 Load Step-down的过程，从“重负载”到“轻负载”其实就是抛负载的过程，这个过程完成后，相当于输出电容与负载端是断开的，所以功率电感上的能量只能转换到输出电容上。因为这个转换过程涉及“功率电感元件”和“电容元件”，不同元件之间的能量转换，只能使用对应的能量公式，能量是守恒的。