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图解傅里叶变换

  • 2020-07-31 15:59
  • boy59

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  •   之前看过一篇关于傅里叶分析的文章,对傅里叶变换、时域、频域等有了点直观的理解,但具体到计算上依然是困惑的并且对于一些概念比如卷积、可积、不可积等也是似懂非懂。由于傅里叶公式比较抽象所以就在思考能否构建一个模型,通过模型直观的去理解或解释傅里叶公式?


    参考资料:

    傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06 - 知乎

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

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  • boy59

    LV.1

    2020-07-31 16:26

    @

    首先回顾一下傅里叶变换

    方波傅里叶

    方波展开

    以方波为例,近似认为任何波形都可由不同频率、幅值和相位的正弦波组合而成,傅里叶变换就是将任意波形(这里的方波)中的各分量分离出来。如何分离?硬件上可以采用窄带滤波器,但实际上硬件开销是难以接受的,通常采用的是数学方法——欧拉滤波器。

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  • boy59

    LV.1

    2020-08-01 12:24

    @boy59

    首先回顾一下傅里叶变换

    方波傅里叶

    方波展开

    以方波为例,近似认为任何波形都可由不同频率、幅值和相位的正弦波组合而成,傅里叶变换就是将任意波形(这里的方波)中的各分量分离出来。如何分离?硬件上可以采用窄带滤波器,但实际上硬件开销是难以接受的,通常采用的是数学方法——欧拉滤波器。

    欧拉公式

    欧拉公式 

    欧拉图 

    欧拉公式展示了一根螺旋上升的曲线(如同弹簧),这根神奇的“弹簧”或许更加接近事物的本质,我们通常所能观察到的或许只是这个三维模型某个投影

    线性极化波 右旋圆极化波

    这里就是借用这个三维欧拉模型来分离频域中的各个分量实现滤波效果。

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    LV.1

    2020-08-01 17:47

    @

    设一个频率为f0=0.3Hz正弦波信号其时域、频域图如下:

    3Hz时域频域图-0 

                                                  1-1  0.3Hz正弦波时域、频域图

    如图把时域信号乘以欧拉公式再积分取模就得到了频域信号,这一步又称卷积。这时脑袋里就产生了问号,啥是卷积?为啥欧拉公式能滤波?复数怎么算?渣一样的数学水平是不可能理解这个方程了,那么就换一个角度看看能不能把这个方程的轨迹描绘出来,通过过程说不定就能够理解这个方程的机理。

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  • boy59

    LV.1

    2020-08-01 18:47

    @boy59

    设一个频率为f0=0.3Hz正弦波信号其时域、频域图如下:

    3Hz时域频域图-0 

                                                  1-1  0.3Hz正弦波时域、频域图

    如图把时域信号乘以欧拉公式再积分取模就得到了频域信号,这一步又称卷积。这时脑袋里就产生了问号,啥是卷积?为啥欧拉公式能滤波?复数怎么算?渣一样的数学水平是不可能理解这个方程了,那么就换一个角度看看能不能把这个方程的轨迹描绘出来,通过过程说不定就能够理解这个方程的机理。

    一个时域信号乘以欧拉公式后是怎么的轨迹?取欧拉公式中的频率也为f0=0.3Hz,复平面图形如下:

    3Hz复平面-0 

                                             1-2  f0=0.3Hz复平面图

    在三维模型中的轨迹如下:

    三视图 

                                                   1-3 三视图

    三视图中灰色的是XY平面(复平面),实际发现Z轴(时间轴)上的数值对结果没有影响,只需关心在XY平面的投影即可。从这里看似乎复平面二维图就足够了。

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  • boy59

    LV.1

    2020-08-02 10:37

    @boy59

    一个时域信号乘以欧拉公式后是怎么的轨迹?取欧拉公式中的频率也为f0=0.3Hz,复平面图形如下:

    3Hz复平面-0 

                                             1-2  f0=0.3Hz复平面图

    在三维模型中的轨迹如下:

    三视图 

                                                   1-3 三视图

    三视图中灰色的是XY平面(复平面),实际发现Z轴(时间轴)上的数值对结果没有影响,只需关心在XY平面的投影即可。从这里看似乎复平面二维图就足够了。

      接着用欧拉滤波器进行扫频观察复平面、三维图中轨迹的变化:

    对比分析 

                                          1-4 对比频域中各频率对应的复平面和三维图

      通过观察发现所有轨迹在复平面的投影重合度越高的对应的频域值越大,比如欧拉滤波器取f0=3Hz时所有轨迹的投影在一个圆上,而偏离f0=3Hz时投影逐渐散开(如同弯曲的弹簧),在f0=0.42Hz处所有投影成对称状(复平面有正有负)得到的频域值为零。

      再观察最左边的f0=0.15Hz处,放大如下:

    15-f=0 

                                                      1-4-1 f=0.15Hz放大图

    在复平面中其为对称图形得出的频域值应该为零但实际不为零,通过观察三维图右边的两个臂为双重臂所以单纯在二维投影中分辨不出来。那么怎样来求这些投影的重合度?

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  • boy59

    LV.1

    2020-08-02 11:10

    @boy59

      接着用欧拉滤波器进行扫频观察复平面、三维图中轨迹的变化:

    对比分析 

                                          1-4 对比频域中各频率对应的复平面和三维图

      通过观察发现所有轨迹在复平面的投影重合度越高的对应的频域值越大,比如欧拉滤波器取f0=3Hz时所有轨迹的投影在一个圆上,而偏离f0=3Hz时投影逐渐散开(如同弯曲的弹簧),在f0=0.42Hz处所有投影成对称状(复平面有正有负)得到的频域值为零。

      再观察最左边的f0=0.15Hz处,放大如下:

    15-f=0 

                                                      1-4-1 f=0.15Hz放大图

    在复平面中其为对称图形得出的频域值应该为零但实际不为零,通过观察三维图右边的两个臂为双重臂所以单纯在二维投影中分辨不出来。那么怎样来求这些投影的重合度?

    因为复平面中有正有负当把所有点相加后对称的部分会抵消掉这样就能判断出重合度(或应称对称性),再取模就得出了实数结果。对乘积项进行累加(积分)也就是卷积运算了,卷积运算比较慢有没有其它更便捷的方法来识别投影的重合度(对称性)?或者优于欧拉滤波器的滤波器?

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  • boy59

    LV.1

    2020-08-02 11:20

    @boy59

    因为复平面中有正有负当把所有点相加后对称的部分会抵消掉这样就能判断出重合度(或应称对称性),再取模就得出了实数结果。对乘积项进行累加(积分)也就是卷积运算了,卷积运算比较慢有没有其它更便捷的方法来识别投影的重合度(对称性)?或者优于欧拉滤波器的滤波器?

    如果不是单一频率的波形仍然符合上述规律只是投影不再是标准的圆形,见下图:

    点3点6Hz 

                                            1-5 两种频率的合成波频域及投影

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  • boy59

    LV.1

    2020-08-02 12:26

    @boy59

    如果不是单一频率的波形仍然符合上述规律只是投影不再是标准的圆形,见下图:

    点3点6Hz 

                                            1-5 两种频率的合成波频域及投影

    再来分析相位的识别方法,观察下面不同初始相位时对应的X方向Y方向上投影:

    0度 

                                                   1-6-1 0度对应的投影

    45度 

                                                     1-6-2 45度对应的投影

    90度 

                                                       1-6-3 90度对应的投影

    通过对比可知初始相位可以用图中两条正弦波的均值求反正切获得,这两条正弦波为原波形x1(t)分别与欧拉公式的虚部、实部相乘获得(欧拉三角形式cos(t)-i*sin(t)),平均值可由积分的方法获得,最终求相位也用到了卷积,表达式及波形如下:

    频率相位图 

                                                             1-7 频率相位图

    (此处有点小问题,结果相差90度)

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  • peterchen0721

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    2020-08-02 17:52

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  • boy59

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    2020-08-02 19:36

    @peterchen0721

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