LLC电路DC特性修正方程探讨

设Vin=330V，Vout=200V，Ro=142.86，fs=100kHz，fr=135kHz来验证曲线的组合拼接效果如下：

                                             图2-2 曲线组合拼接验证

上图曲线中包含了谐振电流、励磁电流和谐振电容电压波形，通过仿真和计算对比可以证明采用正弦曲线拼接的方法是比较准确的，不过目前涉及的参数过多还未找到足够的方程来进行正向推导。

在推导过程遇到了不少问题（主要是运算速度的问题），还有最后一个方程有待验证，推导过程如下：

步奏1

先设置一个起点电流Im0_u和谐振电流幅值A0_u，可以绘制出在时间0.5Tr附近前的波形（两条曲线的交点不等于0.5Tr），见下图。

                                        图2-3-1 时间0~0.512Tr段漏感电流与励磁电流波形

利用root工具可以求解出两条曲线的相交时间及相交电流。在前面提到为了提高运算速度特将积分运算都转换成三角函数运算，这里当root工具调用次数过多时也会影响运算速度，因而如果能将方程整理出来效果会更好。

问题1：

步奏2

对阴影区域积分获取输出电流函数并增加输出电流等于Uo/Ro这一约束条件。

                            图2-3-2等输出电流曲线

从上图看满足输出电流恒定的曲线有很多，因而还需其它约束条件（方程）。

非积分形式的输出电流推导如下：

                                     图2-3-3 输出电流原始推导公式

问题2：需要先处理好问题1的方程整理，推导出方程A0=f(Im0,Io)。

步奏3

设一条谐振曲线同时穿过(t1,Im1)和(0.5Ts,Im0)两个点，列方程组求出其表达式及波形如下：

                               图2-3-4 t1~0.5Ts时间段电流波形

当负载很重的时候，在此区间谐振电流和励磁电流会分离开需要另做分析。

步奏4

在之前的分析中Im0是预先设置的，这里可以利用谐振电容的波形来最终确定这个Im0。同样将积分方程转化成三角函数推导方程及波形如下：

                                              图2-3-5 谐振电容波形及公式

当满足曲线Vsc_01和曲线Vsc_02在t1时刻相切时即可确定预设的Im0值，从而解出整个方程组。

上述步奏4中曲线相切的方法作为约束条件行不通，经验证在t1时刻无论Im0取何值两条曲线都是相切的，目前仍缺少一个约束条件。

参考仿真波形中的Im0进行设置并获得如下对比曲线：

                             图2-3-6 等Q值不同开关频率下的波形对比

通过波形对比可知计算公式是准确的，如果能确定Im0电流那么输出/输入的DC增益也就可以确定了。

步奏5

根据输入、输出能量守恒来确认参数Im0，由于匝比设置为1:1所以输入电流和谐振腔电流波形一样，见下图：

                                      图2-3-7 输入电流

有一点区别就输入电流只占1/2周期，因而在计算时输入电压都是按1/2Vin来的。

根据能量守恒Uo*Io=0.5*Uin*Iin（Iin≠Io差个Im）推出Uin=2*Uo*Io/Iin，再参照下图的谐振电容波形，

                                 图2-3-8 谐振电容“升压”值

参照上图输入电压Uin=2*Uo-△U，当满足两个Uin相等时可解出参数Im0。

对方程进行验证：

                图2-4-1 fs=100kHz，Ro=142.86，Gdc=1.201

输出200V，负载Ro=142.86，谐振频率fr=135kHz，开关频率fs=100kHz，计算出输入电压333V，直流增益1.2。

                   图2-4-2 fs=80kHz，Ro=142.86，Gdc=1.583

输出200V，负载Ro=142.86，谐振频率fr=135kHz，开关频率fs=80kHz，计算出输入电压253V，直流增益1.583。

上面的参数是根据Ti资料中的参数设置的，再对比一下Ti的实测值：

                              图2-4-3 Ti实测增益值

在100kHz和80kHz处计算值同实测值几乎一样，在其它条件下用Saber仿真软件进行验证得出的结果也基本是准确的。

这里的方程大多是多解，而root函数只能得出单一的解（Mathcad中是否有可以求多解的功能？），如果将root函数中的定义域进行细分倒是可以解出多解来。

                                            图2-5 利用分段定义域求方程多解

如上图，定义域细分的可以解出所有的解，宽定义域的只能得出最后一小段曲线（多解的情况下），这里可以编写一个程序来自动细分定义域。

如果能直接推导出方程的解析解最为理想，比如公式中对时间t1的求解：

                                        图2-5-1 时间t1的求解

上图中红框中的公式如何整理成时间t1的解析解？

时间t1与峰值电流A0和初始电流Im0的关系如下：

                           图2-5-2 时间t1与峰值电流及初始电流的关系

从上图看t1的曲线接近线性从而联想到为其找出一个拟合解。

                                      图2-5-3 拟合解析解

上图红框中的公式为找出的“拟合解析解”，除轻载外曲线拟合的都很好，如果方程t1能找出解析解的话估计会跟方程t1_1的形式很接近。

三、Fs>Fr降压状态：

                                      图3-1 fs>fr降压模式电流波形对比

 fs>fr区域可以采用与之前相似的分析方法，下面就准备逐步展开分析。

也绘制两个相交的正弦波如下：

                                         图3-2 两个相交的正弦波

与fs升压模式不同，这里的两个正弦波是同周期的（频率同为fr），接下来就是确定交点时间t01及各种的相位和幅值。

                                     图3-3 励磁电流波形及相关方程

fs>fr情况时励磁电流的峰值和周期（Ts）可以直接计算出来既图中的Im1_d，相移跟时间t01有关。时间t01和正弦波Ir02_d的幅值、初始电流Im0_d、开关周期及谐振周期有关……，根据图中右侧公式可以将曲线绘制出来，方程经整理后最终只有初始电流Im0_d和谐振电流峰值需要设置。

输出平均电流的计算经整理得到如下方程：

                                          图3-4 输出平均电流方程

根据Io_d=Vor/Ro可以得出谐振电流峰值表达式，再列出谐振电容电压方程如下：

                                          图3-5 谐振电容电压公式及波形

最后根据输入、输出能量守恒解出整个方程组。

仿真和计算对比验证如下：

                                     图3-6 fs=200kHz仿真、计算对比

                              图3-7 fs=166.66kHz仿真、计算对比

上面两个波形的验证也同Ti的实测结果进行了对比，仿真值和计算值比较接近，同实测值略有差异，估计是没考虑实际效率因素造成的。